设 $a_n\to a$, 试证: $$\bex \vlm{n}\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}=a. \eex$$

 

 

 

证明: (1). 用 $a_n-a$ 代替 $a_n$ 而不妨设 $a=0$. (2). 设 $a_n\to 0$, 则 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N_1,\st n>N_1\ra |a_n|<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 对上述 $N_1$, 由 $\dps{\vlm{n}\frac{a_1+2a_2+\cdots+N_1a_{N_1}}{1+2+\cdots+n}=0}$ 知 $\exists\ N>N_1,\st n\geq N$, $$\beex \bea &\quad\frac{|a_1+2a_2+\cdots+N_1a_{N_1}}{1+2+\cdots+n}<\frac{\ve}{2}\\ &\ra \sev{\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}} \leq \frac{|a_1+2a_2+\cdots+N_1a_{N_1}|}{1+2+\cdots+n} +\frac{|(N_1+1)a_{N_1+1}+\cdots+na_n|}{1+2+\cdots+n}\\ &\quad<\frac{\ve}{2}+\frac{(N_1+1)+\cdots+n}{1+2+\cdots+n}\cdot \frac{\ve}{2}<\ve. \eea \eeex$$